泰勒级数（复数意义）

Taylor Series Complex Part

泰勒级数的复数意义扩展，任意一个解析函数使用幂级数表达

$f (z)$ 在 $z_{0}$ 处的 泰勒展开式：

\begin{array}{r} f (z) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)} (z_{0})}{n!} (z - z_{0})^{n} \end{array}

$f (z)$ 在区域 $D$ 内解析， $z_{0}$ 为 $D$ 内的一点， $d$ 为 $z_{0}$ 到 $D$ 的边界上各点的最短距离，当 $| z - z_{0} | < d$ 时, 泰勒展开式成立

注意

如果 $f (z)$ 在 $D$ 内有奇点，则 $d$ 等于 $z_{0}$ 到最近一个奇点 $α$ 之间的距离
$d = R = | α - z_{0} |$
由于 $f (z)$ 为解析函数，则无限次导数都连续（解析函数的导数仍然为解析函数）
当你确定一个函数在所给区域内解析时，你就可以进行泰勒展开
而且收敛半径直接从展开的式子中判断！不用考虑太多

根据泰勒展开定理计算系数，在 $z_{0}$ 处展开：

\begin{aligned} f (z) & = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} (z - z_{0})^{n} \\ c_{n} & = \frac{1}{n!} f^{(n)} (z_{0}) \end{aligned}

借助一些已知函数的展开式，结合解析函数、幂级数运算等性质，代换等数学技巧，求函数的泰勒展开式

常见函数的泰勒展开式：

\begin{aligned} e^{z} & = 1 + z + \frac{z^{2}}{2!} + \dots + \frac{z^{n}}{n!} + \dots = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{z^{n}}{n!} | z | < \infty \\ \sin z & = \frac{1}{2 i} (e^{i z} - e^{- i z}) \\ = z - \frac{z^{3}}{3!} + \frac{z^{5}}{5!} - \dots + (- 1)^{n} \frac{z^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!} + \dots \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{z^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!} | z | < \infty \\ \cos z & = \frac{1}{2} (e^{i z} + e^{- i z}) \\ = 1 - \frac{z^{2}}{2!} + \frac{z^{4}}{4!} - \dots + (- 1)^{n} \frac{z^{2 n}}{(2 n!)} + \dots \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{z^{2 n}}{(2 n)!} | z | < \infty \end{aligned}

\begin{aligned} \frac{1}{1 - z} & = 1 + z + z^{2} + \dots + z^{n} + \dots = \sum_{n = 0}^{\infty} z^{n} | z | < 1 \\ \frac{1}{1 + z} & = \frac{1}{1 - (- z)} \\ = 1 - z + z^{2} - \dots + (- 1)^{n} z^{n} + \dots \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} (- z)^{n} | z | < 1 \\ \ln (1 + z) & = \int_{0}^{z} \frac{1}{1 + z} d z \\ = z - \frac{z^{2}}{2} + \frac{z^{3}}{3} - \dots + (- 1)^{n} \frac{z^{n + 1}}{(n + 1)!} + \dots \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{z^{n + 1}}{n + 1} | z | < 1 \end{aligned}

$| z - z_{0} |$ 的模与其他的模比较

注意！

一定要注意是分子分母上下同除来构造
不要只除以分母而漏掉系数！！！

$f (z) e^{z} \cos z$ 在 $z = 0$ 处的泰勒展开式

\begin{aligned} e^{z} \cos z & = e^{z} \cdot \frac{1}{2} (e^{i z} + e^{- i z}) \\ = \frac{1}{2} [e^{(1 + i) z} + e^{(1 - i) z}] \\ = \frac{1}{2} [\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(1 + i)^{n} z^{n}}{n!} + \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(1 - i)^{n} z^{n}}{n!}] \\ = \frac{1}{2} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} [(1 + i)^{n} + (1 - i)^{n}] z^{n} \\ = \frac{1}{2} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} [(\sqrt{2} e^{i \cdot 4 / π})^{n} + (\sqrt{2} e^{i \cdot (- 4 / π)})^{n}] z^{n} \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{\sqrt{2}}^{n}}{n!} z^{n} \cos \frac{n π}{4} | z | < \infty \end{aligned}

\begin{array}{r} f (z) = \frac{1}{2 π i} \oint_{K} \frac{f (ζ)}{ζ - z} d ζ \end{array}

$| \frac{z - z_{0}}{ζ - z_{0}} | < 1$ , 则

\begin{aligned} \frac{1}{1 - z} & = 1 + z + z^{2} + \dots + z^{n} + \dots = \sum_{n = 0}^{\infty} z^{n} \\ \frac{1}{ζ - z} & = \frac{1}{ζ - z_{0}} \frac{1}{1 - \frac{z - z_{0}}{ζ - z_{0}}} \\ = \frac{1}{ζ - z_{0}} [1 + \frac{z - z_{0}}{ζ - z_{0}} + {(\frac{z - z_{0}}{ζ - z_{0}})}^{2} + \dots + {(\frac{z - z_{0}}{ζ - z_{0}})}^{n} + \dots] \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(z - z_{0})^{n}}{(ζ - z_{0})^{n + 1}} \end{aligned}

\begin{aligned} f (z) & = \sum_{n = 0}^{N - 1} [\frac{1}{2 π i} \oint_{K} \frac{f (ζ) d ζ}{(ζ - z_{0})^{n + 1}}] (z - z_{0})^{n} + \sum_{n = N}^{\infty} [\frac{1}{2 π i} \oint_{K} \frac{f (ζ) d ζ}{(ζ - z_{0})^{n + 1}}] (z - z_{0})^{n} \\ = \sum_{n = 0}^{N - 1} \frac{f^{(n)} (z_{0})}{n!} (z - z_{0})^{n} + R_{N} (z) \end{aligned}